Question

решите систему уравнений

$left { {{x+y= frac{ pi }{3} } atop {sinxsiny= frac{1}{4} }} right.$

Answer 1

$y=frac{pi}{3}-x$ Подставим во второе уравнение

$sin xsin(frac{pi}{3}-x)=frac{1}{4}$

Есть формула произведения синусов

$sin asin b=frac{1}{2}*(cos(a-b)-cos(a+b))$

Подставим в эту формулу 
$sin xsin(frac{pi}{3}-x)=frac{1}{2}*(cos(x-(frac{pi}{3}-x))-cos(x+frac{pi}{3}-x))=$

$=frac{1}{2}*(cos(2x-frac{pi}{3})-cos(frac{pi}{3}))=frac{1}{2}*(cos(2x-frac{pi}{3})-frac{1}{2})$
Вернемся к уравнению
$frac{1}{2}*(cos(2x-frac{pi}{3})-frac{1}{2})=frac{1}{4}$
Умножим обе части на 4. Получим

$2(cos(2x-frac{pi}{3})-frac{1}{2})=1$

$2cos(2x-frac{pi}{3})-1=1$

$2cos(2x-frac{pi}{3})=2$

$cos(2x-frac{pi}{3})=1$

$2x-frac{pi}{3}=2pi*n,quad nin Z$

$2x=2pi*n+frac{pi}{3},quad nin Z$

Поделим обе части на 2. Получим

$x=pi*n+frac{pi}{6},quad nin Z$

$y= frac{ pi }{3} -x$

$y= frac{ pi }{3} -(pi*n+frac{pi}{6}),quad nin Z$

$y= frac{ pi }{6} -pi*n,quad nin Z$

Ответ: $x=pi*n+frac{pi}{6},quad nin Z$

$y= frac{ pi }{6} -pi*n,quad nin Z$