Question

Докажите тождество tg(п/4+a/2)-tg(п/4-a/2)=2tga

Answer 1

Ответ:

Воспользуемся выражением для тангенса суммы двух углов:

$tg(\alpha+\beta)=\frac{tg(\alpha)+tg(\beta)}{1-tg(\alpha)\cdot tg(\beta)}$

Тогда:

$tg(\frac{\pi}{4}+\frac{a}{2})=\frac{tg(\frac{\pi}{4} )+tg(\frac{a}{2} )}{1-tg(\frac{\pi}{4} )\cdot tg(\frac{a}{2} )}=\frac{1+tg(\frac{a}{2} )}{1-tg(\frac{a}{2})}$

$tg(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2})=\frac{tg(\frac{\pi}{4} )-tg(\frac{a}{2} )}{1+tg(\frac{\pi}{4} )\cdot tg(\frac{a}{2} )}=\frac{1-tg(\frac{a}{2} )}{1+tg(\frac{a}{2})}$

$\frac{1+tg(\frac{a}{2} )}{1-tg(\frac{a}{2})}-\frac{1-tg(\frac{a}{2} )}{1+tg(\frac{a}{2})}=\frac{(1+tg(\frac{a}{2}))^2-(1-tg(\frac{a}{2}))^2}{(1-tg(\frac{a}{2}))\cdot (1+tg(\frac{a}{2}))}=\frac{1+2tg(\frac{\alpha}{2})+tg^2(\frac{\alpha}{2} )-1+2tg(\frac{\alpha}{2})-tg^2(\frac{\alpha}{2} ) )}{1-tg^2(\frac{\alpha}{2} )}$

После приведения подобных получим:

$2\cdot\frac{tg(\frac{\alpha}{2})+tg(\frac{\alpha}{2})}{1-tg^2(\frac{\alpha}{2})}$

Видно, что дробь является формулой тангенса двойного угла. Отсюда:

$2\cdot\frac{tg(\frac{\alpha}{2})+tg(\frac{\alpha}{2})}{1-tg^2(\frac{\alpha}{2})}=2\cdot tg(\alpha)$

ч.т.д.