Question

Решите пожалуйста! Буду благодарен ​

Answer 1

Необходимые формулы:

Основное тригонометрическое тождество:

$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$

Связь тангенса и котангенса:

$ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha}$

Связь тангенса и косинуса:

$1+tg^2\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha}$

Связь котангенса и синуса:

$1+ctg^2\alpha=\frac{1}{sin^2\alpha}$

1°. Найдем тригонометрические функции по заданной, с учетом того, что аргумент лежит в II четверти.

$cos\alpha=-\sqrt{1-sin^2\alpha}\\\\cos\alpha=-\sqrt{1-\frac{81}{1681}}=-\sqrt{\frac{1600}{1681}}=-\frac{40}{41}\\\\tg\alpha=-\frac{9\cdot41}{41\cdot40}=-\frac{9}{40} \\\\ctg\alpha=-\frac{40\cdot41}{41\cdot9}=-\frac{40}{9}$

2°. Воспользуемся формулой связи котангенса и синуса:

$sin^2\gamma \cdot (1+ctg^2\gamma)=sin^2\gamma\cdot\frac{1}{sin^2\gamma}=1$

3. Воспользуемся формулами основного тригонометрического тождества и связи тангенса и котангенса:

$\frac{1-sin^2\beta}{1-cos^2\beta}+tg \frac{\pi}{5} \cdot ctg\frac{\pi}{5} =\frac{cos^2\beta}{sin^2\beta}+1=ctg^2\beta+1$

4. Воспользуемся формулами связи котангенса и синуса и связи тангенса и косинуса:

$\frac{tg\alpha}{1+tg^2\alpha} -\frac{ctg\alpha}{1+ctg^2\alpha} =tg\alpha\cdot cos^2\alpha-ctg^2\alpha\cdot sin^2\alpha=sin\alpha\cdot cos\alpha-\cos\alpha\cdot sin\alpha=0$