Question

Дивисти цю
$(n^{5} - 5n^{3 } + 4n)$
ділиться на 120​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$(n^5-5n^3+4n)=n(n^4-5n^2+4)=(n^2-4)(n^2-1)=(n-2)(n+2)(n+1)(n-1)n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$

Для любых целых n,

Получили произведение пяти последовательных чисел, из них обязательно кто-то делится на 5 (просто потому что остатки при делении на 5 только 0, 1, 2, 3, 4 - всего 5 штук), так же из них обязательно кто-то делится на 4 (всего 4 остатка при делении на 4: 0, 1, 2, 3) и так же делится на 3 (тоже 3 остатка: 0, 1, 2). Но среди 5 последовательных чисел есть хотя бы 2 числа, которые делятся на 2. Одно из них делится на 4, а второе добавляет ещё один множитель - 2.

Итого получаем, что исходное выражение делится и на 5, и на 4, и на 3, и на 2, при любых целых n, но тогда оно делится на 2*3*4*5 = 120  ЧТД