Question

Решить неравенство, помогите
(3^(|x+2|/x)-9)/((x^2+x-2)^(1/2))>=0​

Answer 1

$\frac{3^{\frac{|x+2|}{x}}-9}{\sqrt{x^2+x-2}}\geq 0$

ОДЗ:

$x^2+x-2>0\\\\(x-1)(x+2)>0\\\\x \in (-\infty;-2)\cup (1;+\infty)$

Также должно быть условие $x\neq 0$, но оно уже выполнено.

Решение:

Знаменатель всегда положителен, значит нужно исследовать только числитель с учетом ОДЗ:

$3^{\frac{|x+2|}{x}}-9\geq 0\\\\3^{\frac{|x+2|}{x}}\geq 3^2\\\\3>1 \Rightarrow \\\\\frac{|x+2|}{x}\geq 2\\\\\frac{|x+2|}{x}-2\geq 0\\\\\frac{|x+2|-2x}{x} \geq 0$

Выясним при каких значениях x числитель больше и меньше 0

$|x+2|-2x=0\\x+2-2x=0\\x=2$

$|x+2|-2x=0\\-x-2-2x=0\\x=-1,5$

Второе решение не имеет смысла, т.к. не лежит в нужной области раскрытия модуля

Таким образом, выяснили, что:

$|x+2|-2x>0, x<2\\\\|x+2|-2x<0, x>2$

Возвращаясь к неравенству, имеем:

$\frac{|x+2|-2x}{x} < 0, x<0\\\\\frac{|x+2|-2x}{x}\geq 0 , 0<x\leq 2\\\\\frac{|x+2|-2x}{x}\leq 0, x>2$

С учетом ОДЗ:

$x \in (1;2]$

Ответ: $x \in (1;2]$