Question

Дробно-линейная функция задана уравнением: f(x)=(ax+11)/(2x+b)

a) Асимптоты функции имеют уравнения x=2, y=3. Найдите значение переменных a и b.

b) Используя результаты предыдущего действия:

i) приведите функцию f(x)=(ax+11)/(2x+b) к виду =n+k/(x+n);

ii) найдите точки пересечения функции с осями координат;

iii) постройте график функции.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

а) х=2 это вертикальная асимптота. Это точка разрыва, т. е. это будет та точка, в которой знаменатель равен 0, т.к. на 0 делить нельзя. Следовательно

2·2+b=0;     b=-4

y=3 - это горизонтальная асимптота. К этому значению стремится предел функции. Тогда

$\lim_{x \to \infty} \frac{ax+11}{2x-4} =3$

Применяя правило Лопиталя, будем иметь

$\frac{(ax+11)'}{(2x-4)'} =3\\\frac{a}{2} =3\\a=6$

b)

i)

$\frac{6x+11}{2x-4}= \frac{6x+11}{2(x-2)}=\frac{3x+5.5}{x-2}=\frac{3x+5.5}{x-2}= \frac{3x-6+11.5}{x-2}= \frac{3x-6}{x-2}+\frac{11.5}{x-2}=3+\frac{11.5}{x-2}$

Как видим, к требуемому виду функция не приводится, т.к. 3≠-2

ii) В точках пересечения с осью у абцисса равна 0. Подставляем в уравнение, находим у:

$y=\frac{6\cdot0+11}{2\cdot0-4}= -2.75$

A(0;-2.75) - точка пересечения с осью у

В точках пересечения с осью х ордината равна 0. Решаем уравнение

$\frac{6x+11}{2x-4}=0\\ 6x-4=0\\x=\frac{2}{3}$

$B(\frac{2}{3} ;0)$ - точка пересечения  с осью х.

iii) Дополнительно исследуем функцию в точке разрыва

$\lim_{x \to 2-} \frac{6x+11}{2x-4}= -\infty\\ \lim_{x \to 2+} \frac{6x+11}{2x-4}= +\infty$

Схематически строим график