Question

Найдите число n такое , что числа n + 30 и n-17 являются квадратами других чисел .

Answer 1

$left { {n+30=b^2} atop {n-17=a^2}} right.quad(1)$

Из второго уравнения отнимем первое, получим

$47=a^2-b^2$

$47=(a-b)*(a+b)quad(2)$

Заметим, что 47 - простое число. То есть раскладывается на 47=47*1. Других разложений нет. По смыслу задачи a и b - положительные числа. a<b.

Значит из (2) получаем следующую систему уравнений

$left { {{b-a=1} atop {b+a=47}} right.quad(3)$

К первому уравнению (3) прибавим второе, получим

2b=48.
b=48:2
b=24.
Из первого уравнения системы (3)

b-a=1
24-a=1
24-1-a=0
23-a=0
a=23.

Теперь подставим во второе уравнение системы (1)

$n-17=23^2$

$n=23^2+17$

n=529+17

n=546.

Если к этому числу прибавить 30, то получим 546+30=576=24*24.

Других пар, очевидно, нет. Так как 47 - простое число. 

Ответ: 546.

_______________________________________________________________

$2013*2^{2013}*5^{2015}=2013*2^{2013}*5^{2+2013}=2013*2^{2013}*5^{2}*5^{2013}=$

$=2013*5^{2}*2^{2013}*5^{2013}=2013*25*(2*5)^{2013}=50325*10^{2013}$

503250000....00 - всего 2013 нулей