Question

Решить систему уравнения матричным методом, по формулам Крамера и методом Гауса, помогите!!!!!! ​​

Answer 1

Ответ:

-1 , -1 , -1.

Пошаговое объяснение:

Матричный метод:

$\left|\begin{array}{ccc}2&-1&0\\1&2&-1\\0&1&1\end{array}\right|=0*\left|\begin{array}{cc}-1&0\\2&-1\end{array}\right|-1*\left|\begin{array}{cc}2&0\\1&-1\end{array}\right|+1*\left|\begin{array}{cc}2&-1\\1&2\end{array}\right|=$

$=0-1*(2*(-1)-0*1)+1*(2*2-(-1)*1)=-(-2)+5=2+5=7;$

Определитель не равен нулю, следовательно, матрица совместна.

Найдём алгебраические дополнения:

$A_{11}=(-1)^{1+1}*\left|\begin{array}{cc}2&-1\\1&1\end{array}\right|=1*(2*1-(-1)*1)=2+1=3;$

$A_{12}=(-1)^{1+2}*\left|\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}\right|=-1*(1*1-(-1)*0)=-1;$

$A_{13}=(-1)^{1+3}*\left|\begin{array}{cc}1&2\\0&1\end{array}\right|=1*(1*1-2*0)=1;$

$A_{21}=(-1)^{2+1}*\left|\begin{array}{cc}-1&0\\1&1\end{array}\right|=-1*(-1*1-0*1)=1;$

$A_{22}=(-1)^{2+2}*\left|\begin{array}{cc}2&0\\0&1\end{array}\right|=1*(2*1-0*0)=2;$

$A_{23}=(-1)^{2+3}*\left|\begin{array}{cc}2&-1\\0&1\end{array}\right|=-1*(2*1-(-1)*0)=-2;$

$A_{31}=(-1)^{3+1}*\left|\begin{array}{cc}-1&0\\2&-1\end{array}\right|=1*(-1*(-1)-0*2)=1;$

$A_{32}=(-1)^{3+2}*\left|\begin{array}{cc}2&0\\1&-1\end{array}\right|=-1*(2*(-1)-0*1)=2;$

$A_{33}=(-1)^{3+3}*\left|\begin{array}{cc}2&-1\\1&2\end{array}\right|=1*(2*2-(-1)*1)=5;$

Составим союзную матрицу. Её элементами являются найденные алгебраические дополнения:

$C^{*}=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&1\\1&2&-2\\1&2&5\end{array}\right);$

Теперь запишем транспонированную по отношению к ней матрицу. Для этого перепишем строки как столбцы:

$(C^{*})^{T}=\left(\begin{array}{ccc}3&1&1\\-1&2&2\\1&-2&5\end{array}\right);$

Найдём обратную матрицу:

$A^{-1}=\frac{1}{detA}*(C^{*})^{T};$

$A^{-1}=\frac{1}{7}*\left(\begin{array}{ccc}3&1&1\\-1&2&2\\1&-2&5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{array}\right);$

Для того, чтобы найти неизвестные переменные, перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов:

$X=A^{-1}*B;$

$X=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{array}\right)*\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{3}{7}-\frac{2}{7}-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}-\frac{4}{7}-\frac{4}{7}\\-\frac{1}{7}+\frac{4}{7}-\frac{10}{7}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\-1\end{array}\right);$

$x_{1}=-1, x_{2}=-1, x_{3}=-1;$

Метод Крамера:

Значение определителя матрицы нам уже известно (7). Теперь найдём ещё три определителя, подставляя поочерёдно вместо 1-го, 2-го и 3-го столбцов столбец свободных членов:

$\left|\begin{array}{ccc}-1&-1&0\\-2&2&-1\\-2&1&1\end{array}\right|=-1*\left|\begin{array}{cc}2&-1\\1&1\end{array}\right|-(-1)*\left|\begin{array}{cc}-2&-1\\-2&1\end{array}\right|+0=$

$=-1*(2*1-(-1)*1)+1*(-2*1-(-1)*(-2))=-3-4=-7;$

$\left|\begin{array}{ccc}2&-1&0\\1&-2&-1\\0&-2&1\end{array}\right|=2*\left|\begin{array}{cc}-2&-1\\-2&1\end{array}\right|-(-1)*\left|\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}\right|+0=$

$=2*(-2*1-(-1)*(-2))+1*(1*1-(-1)*0)=-8+1=-7;$

$\left|\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\1&2&-2\\0&1&-2\end{array}\right|=0-1*\left|\begin{array}{cc}2&-1\\1&-2\end{array}\right|+(-2)*\left|\begin{array}{cc}2&-1\\1&2\end{array}\right|=$

$=-1*(2*(-2)-(-1)*1)-2*(2*2-(-1)*1)=3-10=-7;$

Для того, чтобы найти x₁ , x₂ и x₃ , необходимо разделить значения трёх полученных определителей на значение исходного определителя соответственно:

$x_{1}=\frac{-7}{7}=-1, x_{2}=\frac{-7}{7}=-1, x_{3}=\frac{-7}{7}=-1;$

$x_{1}=-1, x_{2}=-1, x_{3}=-1;$

Метод Гаусса:

Запишем матрицу, элементами которой являются коэффициенты при переменных. За чертой расположим свободные члены:

$\left(\begin{array}{ccc}2&-1&0| -1\\1&2&-1| -2\\0&1&1| -2\\\end{array}\right);$

Умножая все элементы первой строки на -0,5 и складывая почленно с элементами второй строки, получим:

$\left(\begin{array}{ccc}2&-1&0| -1\\0&2,5&-1| -1,5\\0&1&1| -2\\\end{array}\right);$

Умножая все элементы второй строки на -0,4 и складывая почленно с элементами третьей строки, получим:

$\left(\begin{array}{ccc}2&-1&0| -1\\0&2,5&-1| -1,5\\0&0&1,4| -1,4\\\end{array}\right);$

$1,4x_{3}=-1,4;$

$x_{3}=-1;$

$\left \{ {{2x_{1}-x_{2}=-1}, \atop {2,5x_{2}+1=-1,5}} \right.$

$\left \{ {{2x_{1}-x_{2}=-1} \atop {2,5x_{2}=-2,5}} \right.$

$\left \{ {{2x_{1}-x_{2}=-1} \atop {x_{2}=-1}} \right.$

$\left \{ {{2x_{1}-(-1)=-1} \atop {x_{2}=-1}} \right.$

$\left \{ {{2x_{1}+1=-1} \atop {x_{2}=-1}} \right.$

$\left \{ {{2x_{1}=-2} \atop {x_{2}=-1}} \right.$

$\left \{ {{x_{1}=-1} \atop {x_{2}=-1}} \right.$

$x_{1}=-1, x_{2}=-1, x_{3}=-1.$