Question

Найти точки экстремума функции (x^3 + 27) / (3x - x^2)
С подробным решением пожалуйста

$f(x) = \frac{x ^{3} + 27}{3x - x^{2} }$
​

Answer 1

Ответ:

Берем производную, приравниваем к нулю

Производная = 3х^2-6x-9=0

Решаем уравнение

Д=36+3*4*9=144

х12=(6+-12)/6= -1 и 3

При х=0, производная = -9 (отрицательная, т. е фенкция убывает в этой области) , т. е. точки

При х=-1, у=-3 - максимум

При х=3, у=-35 - минимум

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Посчитаем производную

$\displaystyle (\frac{x^3 + 27}{3x - x^2})'=\frac{(x^3+27)'(3x-x^2)-(3x-x^2)'(x^3+27)}{(3x-x^2)^2} =\\= \frac{3x^2(3x-x^2)-(3-2x)(x^3+27)}{(3x-x^2)^2}=\\=\frac{9x^3-3x^4-3x^3-81+2x^4-54x}{x^4-6x^3+9x^2}=\frac{9x^2+54x-81}{x^4-6x^3+9x^2}$

Найдем её нули

$\displaystyle\frac{9x^2+54x-81}{x^4-6x^3+9x^2}=0\\\left \{ {{9x^2+54x-81=0} \atop {x^4-6x^3+9x^2\neq 0}} \right. \\\left \{ {{x^2+6x-9=0} \atop {x^4-6x^3+9x^2\neq 0}} \right.$

Решим первое:

$\displaystyle x^2+6x-9=0\\x=\frac{-6\pm\sqrt{36-4*(-9)}}{2}\\x=\frac{-6\pm\sqrt{72}}{2}\\x=-3\pm3\sqrt2$

Ни один из этих корней не противоречит предыдущему условию. Значит мы нашли точки экстремума!