Question

Цілі числа х, у і z задовольняють умову ху+ уz + хz=1. Доведіть, що число (1+x^2)(1+y^2)(1+z^2) є квадратом цілого числа.​

Answer 1

$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=(1+x^2)(1+y^2+z^2+y^2z^2)=(1+x^2)((y+z)^2-2yz+y^2z^2+1)=(1+x^2)((y+z)^2+(1-yz)^2)=[1-yz=xy+xz=x(y+z)]=(1+x^2)((y+z)^2+(x(y+z))^2)=(1+x^2)(y+z)^2(1+x^2)=(1+x^2)^2(y+z)^2=((1+x^2)(y+z))^2$

Ч.т.д.