Question

1)найдите объём тела, полученного при вращении гиперболы y=2/x от точки x=1 до точки x=3 вокруг оси абсцисс.
2) найдите объём тела, при вращении гиперболы y=3/x от точки х=1 до точки х=2 вокруг оси абсцисс.
помогите, пожалуйста

Answer 1

Объяснение:

Объем тела вращения вокруг оси абсцисс равен:

$\displaystyle V_x=\pi \int\limits^b_a {y^2} \, dx$

1. (зеленый рис.)

$\displaystyle y=\frac{2}{x};\;\;\;x=1,\;x=3$

$\displaystyle V_x=\pi \int\limits^3_1 {\left(\frac{2}{x}\right)^2 } \, dx =\pi *4\int\limits^3_1 {x^{-2}} \, dx =4\pi *\frac{x^{-1}}{-1}\left|^3_1 =$

$\displaystyle =-4\pi \left(\frac{1}{3}-1\right) =-4\pi *\left(-\frac{2}{3}\right)= 2\frac{2}{3}\pi$  (ед³)

2. (красный рис.)

$\displaystyle y=\frac{3}{x};\;\;\;x=1;\;x=2.$

$\displaystyle V_x=\pi \int\limits^2_1 {\left(\frac{3}{x}\right)^2 } \, dx =9\pi \int\limits^2_1 {x^{-2}} \, dx =9\pi *\frac{x^{-1}}{-1}|^2_1=-9\pi \left(\frac{1}{2}-1\right)=$

$\displaystyle =\frac{9}{2}\pi =4,5\pi$  (ед³)