Question

Докажите, что

| z₁ + z₂ |² + | z₁ − z₂ |² = 2*| z₁ |² + 2*| z₂ |²

для случайного z₁, z₂ ∈ C.

Answer 1

$|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=(z_1+z_2)\overline{(z_1+z_2)}+(z_1-z_2)\overline{(z_1-z_2)}=(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})+(z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2})=z_1\overline{z_1}+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}+z_1\overline{z_1}-z_1\overline{z_2}-z_2\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}=2z_1\overline{z_1}+2z_2\overline{z_2}=2|z_1|^2+2|z_2|^2$

Ч.т.д.

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Использованные св-ва:

$|z|^2=z\cdot\overline{z}\\ \overline{(x+y)}=\overline{x}+\overline{y} \\ \overline{(x-y)}=\overline{x}-\overline{y}$