Question

Исследовать знакочередующийся ряд на сходимость. В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость.

Answer 1

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, a_{n}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, (-1)^{n+1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{n^4+2n^2+1}}$

$a)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n^4+2n^2+1}}\\\\\\a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n^4+2n^2+1}}\ \ ,\ \ \ b_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n^4}}=\dfrac{1}{n^2}\ \ ,\\\\\\\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^2}\ -\ sxoditsya\ ,\ tak\ kak\ \ \alpha =2>1\ .\\\\\\Priznak\ sravneniya:\ \ \lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{n^2}{\sqrt{n^4+2n^2+1}}=1\ne 0\ \ \Rightarrow$

Оба знакоположительных ряда ведут себя одинаково, то есть сходятся.

б)    Так как ряд    $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n^4+2n^2+1}}$  , составленный из абсолютных величин сходится, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно .