Question

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти общее решение.
2y'' -y' -y = 4e^(-x/2)

Answer 1

Для начала нужно решить соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение, выполнив замену $y=e^{kx}$.

$k_1=-\frac{1}{2}\\ k_2=1$

Общее решение однородного диф. уравнения: $\overline{y}=C_1e^{-\frac{x}{2}}+C_2e^x$.

Рассмотрим функцию $f(x)=4e^{-\frac{x}{2}}$. Здесь $P_n(x)=4$, где $n=0$, $\alpha =-\frac{1}{2}.$ Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что

$y^*=Axe^{-\frac{x}{2}}$

Определим первые две производные функции частного решения и подставляем в исходное дифференциальное уравнение одновременно разделив обе части на $e^{-\frac{x}{2}}$.

$y'=(Axe^{-\frac{x}{2}})'=Ae^{-\frac{x}{2}}-\frac{Ax}{2}e^{-\frac{x}{2}}$

$y''=(Ae^{-\frac{x}{2}}-\frac{Ax}{2}e^{-\frac{x}{2}})=-\frac{A}{2}e^{-\frac{x}{2}}-\frac{A}{2}e^{-\frac{x}{2}}+\frac{Ax}{4}e^{-\frac{x}{2}}=-Ae^{-\frac{x}{2}}+\frac{Ax}{2}e^{-\frac{x}{2}}$

$2(-A+\frac{Ax}{2})-(A-\frac{Ax}{2})=4\\ \\ -2A+Ax-A+\frac{Ax}{2}=4\\ \\ -6A+3Ax=8$

Приравниваем коэффициенты при степенях x

$-6A=8~~\Rightarrow~~ A=-\frac{4}{3}$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения ищем как сумму общего однородного диф. уравнения и частного решения

$y=\overline{y}+y^*=C_1e^{-\frac{x}{2}}+C_2e^x-\frac{4}{3}xe^{-\frac{x}{2}}$