Question

Решите пожалуйста!!!!
$4 ^{x} + 2 {}^{ - 3} = 2 {}^{x}$
​

Answer 1

Ответ:

$\log_{2}(2+\sqrt{2})-2;$  $\log_{2}(2-\sqrt{2})-2;$

Пошаговое объяснение:

$4^{x}+2^{-3}=2^{x};$

$(2^{2})^{x}-2^{x}+2^{-3}=0;$

$2^{2*x}-2^{x}+2^{-3}=0;$

$2^{x*2}-2^{x}+2^{-3}=0;$

$(2^{x})^{2}-2^{x}+2^{-3}=0;$

Введём замену:

$t=2^{x};$

Перепишем уравнение с учётом замены:

$t^{2}-t+2^{-3}=0;$

$t^{2}-t+\frac{1}{2^{3}}=0;$

$t^{2}-t+\frac{1}{8}=0;$

$8t^{2}-8t+1=0;$

$a=8, b=-8, c=1;$

$D=b^{2}-4*a*c;$

$D=(-8)^{2}-4*8*1=64-32=32;$

$t_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a};$

$t_{1}=\frac{-(-8)+\sqrt{32}}{2*8}=\frac{8+\sqrt{16*2}}{16}=\frac{8+\sqrt{16}*\sqrt{2}}{16}=\frac{8+4\sqrt{2}}{16}=\frac{8}{16}+\frac{4\sqrt{2}}{16}=0,5+0,25\sqrt{2};$

$t_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};$

$t_{2}=\frac{-(-8)-\sqrt{32}}{2*8}=0,5-0,25\sqrt{2};$

Вернёмся к замене:

$2^{x_{1}}=0,5+0,25\sqrt{2};$

$2^{x_{1}}*4=0,5*4+0,25*4*\sqrt{2};$

$2^{x_{1}+2}=2+\sqrt{2};$

$x_{1}+2=\log_{2}(2+\sqrt{2});$

$x_{1}=\log_{2}(2+\sqrt{2})-2;$

$x_{2}=\log_{2}(2-\sqrt{2})-2;$

Проверка:

$4^{log_{2}(2+\sqrt{2})-2}+2^{-3}=(2^{2})^{log_{2}(2+\sqrt{2})-2}+2^{-3}=2^{2{log_{2}(2+\sqrt{2})-4}}+2^{-3}=$

$=2^{log_{2}(2+\sqrt{2})^{2}+(-4)}+2^{-3}=2^{log_{2}(2+\sqrt{2})^{2}}*2^{-4}+2^{-3}=(2+\sqrt{2})^{2}*0,0625+0,125=$

$=(2^{2}+2*2*\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2})*0,0625+0,125=(4+4\sqrt{2}+2)*0,0625+0,125=$

$=6*0,0625+4\sqrt{2}*0,0625+0,125=0,375+0,125+0,25\sqrt{2}=0,5+0,25\sqrt{2};$

$2^{log_{2}(2+\sqrt{2})-2}=2^{log_{2}(2+\sqrt{2})}*2^{-2}=(2+\sqrt{2})*0,25=2*0,25+0,25\sqrt{2}=$

$=0,5+0,25\sqrt{2};$

При подстановке первого корня правая и левая части уравнения оказались равны.

Подставим второй корень:

$4^{log_{2}(2-\sqrt{2})-2}+0,125=(2-\sqrt{2})^{2}*0,0625+0,125=(4-4\sqrt{2}+2)*0,0625+$

$+0,125=(6-4\sqrt{2})*0,0625+0,125=0,375+0,125-0,25\sqrt{2}=0,5-0,25\sqrt{2};$

$2^{log_{2}(2-\sqrt{2})-2}=2^{log_{2}(2-\sqrt{2})}*2^{-2}=(2-\sqrt{2})*0,25=2*0,25-0,25\sqrt{2}=$

$=0,5-0,25\sqrt{2};$

При подстановке второго корня правая и левая части уравнения снова оказались равны.