Question

Знайдіть найменше значення виразу √6sinα–√2cosα. У відповідь напишіть найменше ціле значення виразу.

Answer 1

$a\sin \alpha \pm b \cos \alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha \pm \varphi)$, где $\varphi =\arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ - формула дополнительного угла

$\sqrt{6}\sin\alpha-\sqrt{2}\cos \alpha=\sqrt{6+2}\sin\left(\alpha -\arcsin\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6+2}}\right)=2\sqrt{2}\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$

Оценим выражение с помощью двойного неравенства

$-1\leq \sin \left(\alpha -\frac{\pi}{6}\right)\leq 1\\ \\ -2\sqrt{2}\leq 2\sqrt{2}\sin \left(\alpha -\frac{\pi}{6}\right)\leq 2\sqrt{2}$

Наименьшее значение выражения равно -2.