Question

При каких значениях а оба корня уравнения x2-(3a+2)x+8a-4a2=0 больше числа -7?

Answer 1

${x}^{2} - (3a + 2)x + 8a - 4 {a}^{2} = 0$

Найдём корни данного уравнения через дискриминант:

$D = (3a + 2) {}^{2} - 4(8a - 4 {a}^{2} ) = 9 {a}^{2} + 12a + 4 - 32a + 16 {a}^{2} = 25 {a}^{2} - 20a + 4 = (5a - 2) {}^{2} \geqslant 0$

Данный дискриминант при любом значении а неотрицательный, а значит уравнение точно имеет 2 корня:

$x_{1} = \frac{3a + 2 + \sqrt{(5a - 2) {}^{2} } }{2} = \frac{3a + 2 + 5a - 2}{2} = \frac{8a}{2} = 4a$

$x_{2} = \frac{3a + 2 - \sqrt{(5a - 2) {}^{2} } }{2} = \frac{3a + 2 - 5a + 2}{2} = \frac{ - 2a + 4}{2} = 2 - a$

По условию, мы ищем такие значения параметра а, при которых оба корня больше -7, значит справедлива такая система:

$\begin{aligned}4a > - 7 \\ 2 - a > - 7\end{aligned} \\ \begin{aligned}a > - \frac{7}{4} \\ - a > - 9\end{aligned} \\ \begin{aligned}a > - 1.75 \\ a < 9\end{aligned}$

$a \in ( - 1.75;9)$