Question

решить уравнение,пожалуйста.

Answer 1

$x^{\frac{1}{3} }=x+2010$

Найдем ОДЗ: Степень с дробным положительным показателем определена при $x\geq 0$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^{\frac{1}{3} }-x-2010=0$

Рассмотрим функцию $y=x^{\frac{1}{3} }-x-2010$ с областью определения $D(y)=[0;\ +\infty)$. Найдем ее производную:

$y'=\dfrac{1}{3} x^{\frac{1}{3}-1 }-1=\dfrac{1}{3} x^{-\frac{2}{3} }-1$

Найдем точки экстремума. Для этого приравняем производную к нулю:

$\dfrac{1}{3} x^{-\frac{2}{3} }-1=0$

$\dfrac{1}{3} x^{-\frac{2}{3} }=1$

$x^{-\frac{2}{3} }=3$

$x^{\frac{2}{3} }=\dfrac{1}{3}$

$x^2=\dfrac{1}{27}$

$x=\sqrt{\dfrac{1}{27} } =\dfrac{1}{3\sqrt{3} } =\dfrac{\sqrt{3} }{9}$ (отрицательный корень не рассматриваем, так как он не попадает в область определения функции)

При $x\in\left[0;\ \dfrac{\sqrt{3} }{9} \right)$ производная отрицательная, при $x\in\left(\dfrac{\sqrt{3} }{9};\ +\infty \right)$ производная положительная.

Значит, $x=\dfrac{\sqrt{3} }{9}$ - точка максимума.

При $x\in\left[0;\ \dfrac{\sqrt{3} }{9} \right]$ функция возрастает, при $x\in\left[\dfrac{\sqrt{3} }{9};\ +\infty \right)$ функция убывает

Найдем наибольшее значение функции - значение функции в точке максимума:

$y\left(\dfrac{\sqrt{3} }{9} \right)=\left(\dfrac{\sqrt{3} }{9} \right)^{\frac{1}{3} }-\dfrac{\sqrt{3} }{9}-2010=\dfrac{\sqrt{3} }{3}-\dfrac{\sqrt{3} }{9}-2010<0$

Очевидно, что это значение отрицательно.

Поскольку наибольшее значение функции отрицательно, то все остальные значения функции тем более отрицательны. Соответственно, нулей у этой функции нет. Это означает, что у исходного уравнения нет корней.

Ответ: нет корней