Question

Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 60◦ . Через центр вписанной окружности этого треугольника и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите ее радиус. ​

Answer 1

Ответ:

R = 1

Объяснение:

АС = 1

АВ = 2

∠А = 60°

По теореме косинусов найдем сторону ВС:

$BC=\sqrt{AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot \cos \angle A}$

$BC=\sqrt{1+4-2\cdot 2\cdot \dfrac{1}{2}}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3}$

Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.

∠АВС + ∠АСВ = 180° - 60° = 120°

$\angle OBC+\angle OCB = \dfrac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=\dfrac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ$

Из ΔОВС:

∠ВОС = 180° - (∠ОВС + ∠ОСВ) = 180° - 60° = 120°

Так как окружность проходит через точки О, В и С, то она описана около ΔОВС.

По следствию из теоремы синусов:

$2R=\dfrac{BC}{\sin \angle BOC}=\dfrac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$

R = 1