Question

Доказать по определению предела функции, что
$\lim\limits_{x \to 0}2^x=1$

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Вспомним определение предела

$\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\colon ~\forall x~0<\left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$

Для нас

$x_0=0\\f(x)=2^x\\A=1$

Тогда

$\forall\varepsilon>0:\\|2^x-1|<\varepsilon\\|2^x-1^x|<\varepsilon\\2^x<1+\varepsilon\\\log_22^x<\log_2(1+\varepsilon)\\x<\log_2(1+\varepsilon)$

Получим, что

$\beth \delta(\varepsilon)=\varepsilon, \\0<|x-x_0|<\delta\\0<|x|<\log_2(1+\varepsilon)\\1<2^x<1+\varepsilon\\0<2^x-1<\varepsilon$

А это верно по определению ($\forall\varepsilon>0$) и из-за малости х (функция монотонно возрастает)