Question

Пусть AK, BL, CN – биссектрисы треугольника ABC, I – точка их пересечения. Известно, что отношения площадей треугольников ANL, BKN и CLK к площади треугольника ABC равны, соответственно, 7/39, 9/65 и 7/15. Найдите отношение IK:AI.

Answer 1

Теорема о биссектрисе

IK/AI =BK/AB =CK/AC =x

IL/BI =AL/AB =CL/BC =y

IN/CI =BN/BC =AN/AC =z

Площади треугольников с равным углом

S(ANL)/S(ABC) =AN*AL/AB*AC =7/39 =yz

S(BKN)/S(ABC) =BK*BN/AB*BC =9/65 =xz

S(CLK)/S(ABC) =CL*CK/AC*BC =7/15 =xy

xy*xz/yz =x^2 =7/15 *9/65 *39/7 => x=3/5

IK:AI =3:5