Question

y'+y/2x =x^2, y(1)=1

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle y(x)= \frac27x^3+ \frac5{7\sqrt x}$

Пошаговое объяснение:

Найдем сначала общее решение дифференциального уравнения

$\displaystyle y'(x)+\dfrac{y(x)}{2x}=x^2\\\frac{dy(x)}{dx}+\frac{y(x)}{2x}=x^2\\\sqrt x\frac{dy(x)}{dx}+\frac{y(x)}{2\sqrt x}=x^{\frac52}\\\sqrt x\frac{dy(x)}{dx}+\frac{d2\sqrt x}{dx}y(x)=x^{\frac52}\\\frac d{dx}(\sqrt x y(x))=x^\frac{5}{2}\\\frac d{dx}(\sqrt x y(x))dx=x^\frac{5}{2}dx\\\int\frac d{dx}(\sqrt x y(x))dx=\int x^\frac{5}{2}dx\\\sqrt xy(x)=\frac27x^\frac72+c\\y(x)=\frac27x^3+\frac c{\sqrt x}$

Чтобы найти частное решение, надо решить уравнение

$\displaystyle y(1)=1\\y(1)=\frac271^3+\frac c{\sqrt 1}=1\\\frac271^3+\frac c{\sqrt 1}=1\\\frac27+c=1\\c=1-\frac27\\c=\frac57$

Подставим вместо с это значение и получим решение