Question

Дано правильну зрізану піраміду, бічне ребро якої дорівнює 5 см, а в основах
лежать квадрати зі сторонами 1 см і 9 см.

знайти:

апофема зрізаної піраміди

площа поверхні зрізаної піраміди

площа більшої основи

Площа бічної поверхні зрізаної піраміди

площа бічної гранi

площа меншої основи
​

Answer 1

Дана правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой равно 5 см, а основаниях лежат квадраты со сторонами 1 см и 9 см.

Найти:

• апофему усеченной пирамиды;
• площадь поверхности усеченной пирамиды;
• площадь большего основания;
• площадь боковой поверхности усеченной пирамиды;
• площадь боковой грани;
• площадь меньшего основания.

Ответ:

• апофема усеченной пирамиды - 3 см;
• площадь поверхности усеченной пирамиды - 142 см²;
• площадь большего основания - 81 см²;
• площадь боковой поверхности усеченной пирамиды - 60 см²;
• площадь боковой грани - 15 см²;
• площадь меньшего основания - 1 см².

Объяснение:

1) Площадь меньшего основания:

$S_{A_1B_1C_1D_1}=A_1B_1^2=1^2=1$ см²

2) Площадь большего основания:

$S_{ABCD}=AB^2=9^2=81$ см²

3) Апофема правильной усеченной пирамиды - высота боковой грани.

Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равные равнобедренные трапеции.

Проведем высоты (апофемы) А₁Н и D₁K в грани AA₁D₁D. Они отсекают равные прямоугольные треугольники, в которых

АН = DK = (AD - BC) : 2 = (9 - 1) : 2 = 4 см

Из прямоугольного треугольника АА₁Н по теореме Пифагора находим апофему:

$\boldsymbol{A_1H}=\sqrt{AA_1^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}\boldsymbol{=3}$ см

4) Площадь боковой грани найдем по формуле площади трапеции:

$S_{AA_1D_1D}=\dfrac{AD+A_1D_1}{2}\cdot A_1H$

$S_{AA_1D_1D}=\dfrac{9+1}{2}\cdot 3=5\cdot 3=15$  см²

5) Площадь боковой поверхности - это сумма площадей всех боковых граней.

Так как у пирамиды 4 одинаковых боковых грани, то площадь боковой поверхности равна:

$S=4\cdot S_{AA_1D_1D}=4\cdot 15=60$ см²

6) Площадь поверхности усеченной пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площадей оснований:

$S_p=S+S_{ABCD}+S_{A_1B_1C_1D_1}=60+81+1=142$ см²