Question

cos(п/2 + 2x) - cos2x + 1 = 0

Answer 1

Ответ:

$\left[ \begin{array}{ll}x=\pi n,\; \: n\in Z\\ \\x=\dfrac{\pi }{4}+\pi k,\; \: k\in Z\end{array}$

Пошаговое объяснение:

$\cos\left(\dfrac{\pi }{2}+2x\right)-\cos2x+1=0$

Применим формулу приведения:

$\cos\left(\dfrac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin\alpha$

$-\sin2x-cos2x+1=0$

$\sin2x+\cos2x=1$

Домножим на √2/2:

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin2x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos2x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\dfrac{\pi }{4}\sin2x+\sin\dfrac{\pi }{4}\cos2x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Применим формулу синуса суммы:

$\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta =\sin(\alpha+\beta)$

$\sin\left(2x+\dfrac{\pi }{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\left[ \begin{array}{ll}2x+\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n,\; \: n\in Z\\\\ 2x+\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{3\pi }{4}+2\pi k,\; \: k\in Z\end{array}$

$\left[ \begin{array}{ll}2x=2\pi n,\; \: n\in Z\\ \\2x=\dfrac{\pi }{2}+2\pi k,\; \: k\in Z\end{array}$

$\left[ \begin{array}{ll}x=\pi n,\; \: n\in Z\\ \\x=\dfrac{\pi }{4}+\pi k,\; \: k\in Z\end{array}$