На олимпиаде по математике было предложено пять задач. Все они оказались разной сложности и поэтому были оценены разными целыми положительными числами баллов. Петя полностью решил четыре задачи и получил за них 21 балл, а Вася полностью решил три задачи и получил за них 22 балла. Какое наибольшее и какое наименьшее число баллов мог
получить Федя, полностью решивший все пять задач?
пожалуйста помогите срочно надо!!!!!
Ответы
Все множество задач состоит из пяти задач. Отметим, что подмножества решенных Петей и Васей задач, состоящие соответственно из четырех и трех задач, пересекаются. Это означает, что Петя решил как минимум две такие же задачи, что и Вася. Далее заметим, что Петя за свои решенные 4 задачи получил меньше баллов, чем Вася за свои три. Это возможно только в том случае, если Петя решил ровно две такие же задачи, что и Вася и если среди решенных Васей задач оказалась самая трудная, за которую давалось больше всего баллов. Теперь проведем оценку. Зададимся вопросом, какое максимальное количество баллов за одну задачу мог набрать Петя. Легко вычисляется, что оно равно 15, так как 1 + 2 + 3 + 15 = 21. Тогда Вася решил задачи с баллами 3 + 4 + 15 = 22. Следовательно наименьшее количество баллов, которое мог набрать Федя за пять решенных задач будет равно 1 + 2 + 3 + 4 + 15 = 25. Рассмотрим теперь, какое максимальное количество баллов за одну задачу мог набрать Вася. Так как 19 + 1 + 2 = 22, то оно равно 19. Задачи в 1 и 2 балла решил и Петя, тогда чтобы сумма баллов за все пять задач была максимальной, за оставшиеся две задачи должны даваться 3 и 15 баллов соответственно. То есть Петя решил задачи с баллами 1 + 2 + 3 + 15 = 21. Тогда Федя, решивший все пять задач мог набрать максимум 1 + 2 + 3 + 15 + 19 = 40 баллов.
Ответ: Минимум 25 баллов и максимум 40 баллов.