Question

Периметр прямоугольника равен 24 см, а его площадь 32 кв. см. Определите, чему равна длина и ширина прямоугольника?

Answer 1

а - длина прямоугольника
b - ширина прямоугольника
=================================================================
Р=24 см
S=32 см²
а - ? см
b - ? см
Решение:
$P=2(a+b)$              (1)

$S=acdot b$                        (2)

из формулы площади прямоугольника (2) выводим формулу нахождения ширины

$b=S:a=frac{S}{a}$

подставляем в формулу периметра прямоугольника (1)

$P=2(a+frac{S}{a})$
 
$2(a+frac{S}{a})=P$

$2a+frac{2S}{a}=P$

$2a+frac{2S}{a}-P=0$ /·a

умножаем на а для того, чтобы избавится от знаменателя

$2a^{2}+2S-aP=0$
 
$2a^{2}-aP+2S=0$
 
подставим в уравнение данные P и S
 
$2a^{2}-24cdota+2cdot32=0$
 
$2a^{2}-24a+80=0$
 
$2(a^{2}-12a+32)=0$
 
$a^{2}-12a+32=0$
 
Квадратное уравнение имеет вид:
 
 $ax^{2}+bx+c=0$
 
Cчитаем дискриминант:

$D=b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4cdot1cdot32=144-128=16$

Дискриминант положительный

$sqrt{D}=4$

Уравнение имеет два различных корня:
 
$a_{1}=frac{12+4}{2cdot1}=frac{16}{2}=8$
 
$a_{2}=frac{12-4}{2cdot1}=frac{8}{2}=4$
 
Следовательно, стороны равны 8см и 4см соответственно

Ответ: 8см и 4см стороны прямоугольника.
Проверка:
Р=2(а+b)=2(8+4)=2·12=24 (см)
S=a·b=8·4=32 (м²)