Question

Решите уравнение способом введения новой переменной

(x+1)^2(х^2+2х)-12=0​

Answer 1

$1) \: \: \: (x + 1) {}^{2} = x {}^{2} + 2x + 1$

$(x {}^{2} + 2x + 1) \times (x {}^{2} + 2x) - 12 = 0$

Замена:

$x {}^{2} + 2x = t$

$(t + 1) \times t - 12 = 0$

Answer 2

Ответ:

В действительных числах 2 решения:  х = -3 или х = 1

В комплексных 4 решения: х = -3 или х = 1 или $x=-1-i\sqrt3$ или $x=-1+i\sqrt3$

Пошаговое объяснение:

$(x+1)^2(x^2+2x)-12=0\\(x^2+2x+1)(x^2+2x)-12=0$

Пусть t = x² + 2x, тогда уравнение имеет вид

$(t+1)t-12=0\\t^2+t-12=0\\(t-3)(t+4)=0\\\displaystyle\left [ {{t-3=0} \atop {t+4=0}} \right.$

Решим каждое из уравнений по отдельности.

Первое уравнение

$t-3=0\\t=3\\x^2+2x=3\\x^2+2x-3=0\\(x+3)(x-1)=0\\\displaystyle \left [ {{x+3=0} \atop {x-1=0}} \right. \\\left[ {{x=-3} \atop {x=1}} \right.$

Нашли 2 корня х = -3 или х = 1

Второе уравнение

$t+4=0\\x^2+2x+4=0\\x^2+2x+1+3=0\\(x+1)^2+3=0\\(x+1)^2=-3$

В действительных числах решений нет, так как квадрат отрицателен.

Но давайте все же посчитаем (так как уровень студенческий)

$(x+1)^2=-3\\x+1=\pm i\sqrt3\\x=-1\pm i\sqrt3$

Получаем в действительных числах 2 решения: х = -3 или х = 1

и в комплексных 4 решения: х = -3 или х = 1 или $x=-1-i\sqrt3$ или $x=-1+i\sqrt3$