Question

про квадратный трехчлен f(x) известно, что уравнение f(x) =5x-20 имеет единственный корень и уравнение f(x) =2x-8 имеет единственный корень. Найдите наибольшее значение, которое может принимать дискриминант трехчлена f(x) ​

Answer 1

Пусть $f(x)=ax^2+bx+c.$ Данные уравнения могут быть записаны в виде

$ax^2+(b-5)x+(c+20)=0;\ ax^2+(b-2)x+(c+8)=0.$

По условию эти уравнения имеют единственные корни, что бывает тогда и только тогда, когда их дискриминанты равны нулю, то есть

$(b-5)^2-4ac-80a=0;\ (b-2)^2-4ac-32a=0.$

Домножим первое выражение на 2, а второе на 5, после чего возьмем их разность:

$2(b-5)^2-8ac-5(b-2)^2+20ac=0;\ 12ac=3b^2-30;\ 4ac=b^2-10,$

откуда дискриминант исходного квадратного трехчлена равен

$b^2-4ac=b^2-b^2+10=10.$

Таким образом, дискриминант равен 10, а значит наибольшее значение, которое он может принимать, также равен 10.

Ответ: 10