Question

Иррациональное уравнение ; корень ха квадрате -9+корень2х+3=3

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\sqrt{x^2-9}+\sqrt{2x+3}=3$

Введем функцию $f(x)=\sqrt{x^2-9}$.

Найдем D(f):

$x^2-9\ge0\\x\in(-\infty;\;-3]\cup[3;\;+\infty)$

Т.к. корень не меняет монотонность функции, то на промежутке $(-\infty;\;-3]$ функция $f(x)$ убывает, а на промежутке $[3;\;+\infty)$ возрастает.

Введем функцию $g(x)=\sqrt{2x+3}$.

$g(x)$ монотонно возрастает на промежутке $x\in\left[-\dfrac{3}{2};\;+\infty\right)$.

Т.к. все $x<-\dfrac{3}{2}$  не подходят по ОДЗ для $g(x)$, а часть функции $f(x)$, определенная на промежутке $[3;\;+\infty)$, возрастает, то имеем сумму возрастающих функций, а значит $m(x)=\sqrt{x^2-9}+\sqrt{2x+3}$ возрастающая.

Значит уравнение $m(x)=3$ имеет единственный корень.

Предположим, что $x=3$ - корень уравнения.

Проверим это:

$\sqrt{3^2-9}+\sqrt{2\times3+3}=3\\0+3=3$

$3=3$, верно.

Значит $x=3$ - это корень исходного уравнения.

Поэтому правильный ответ на задание 3) 3.

Уравнение решено!