Question

Помогите решить, пожалуйста

Answer 1

№1

a)

$\sin(2 \alpha ) \times \ctg( \alpha ) - 1 = 2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) \times \frac{ \cos( \alpha ) }{ \sin( \alpha ) } - ( {sin}^{2} ( \alpha ) + {cos}^{2} ( \alpha )) = 2 {cos}^{2} ( \alpha ) - {sin}^{2} ( \alpha ) - {cos}^{2} ( \alpha ) = {cos}^{2} ( \alpha ) - {sin}^{2} ( \alpha ) = \cos(2 \alpha )$

б)

$\frac{ \cos(2x) - \cos^{2}(x) }{1 - {cos}^{2}x } = \frac{ cos^{2}(x) - {sin}^{2}(x) - cos^{2}(x) }{ {sin}^{2}(x) } = - \frac{ {sin}^{2}(x) }{{sin}^{2}(x)} = - 1$

в)

$1 - 2 {sin}^{2} (4x) = {sin}^{2} (4x) + {cos}^{2} (4x) - 2 {sin}^{2} (4x) = {cos}^{2} (4x) - {sin}^{2} (4x) = \cos(8x)$

№2

а) cos⁴a-sin⁴a = cos 2a

Работаем с левой частью

cos⁴a-sin⁴a = (cos²a-sin²a)*(cos²a+sin²a) = cos 2a*1 = cos 2a

cos 2a = cos 2a

Доказано

б)

$\ctg( \frac{ \alpha }{2} ) - tg( \frac{ \alpha }{2} ) = 2ctg \alpha$

Работаем с левой частью

$\ctg( \frac{ \alpha }{2} ) - tg( \frac{ \alpha }{2} ) = \frac{cos( \frac{ \alpha }{2}) }{sin( \frac{ \alpha }{2}) } - \frac{sin( \frac{ \alpha }{2}) }{cos( \frac{ \alpha }{2}) } = \frac{ {cos}^{2}( \frac{ \alpha }{2}) - {sin}^{2}( \frac{ \alpha }{2} ) }{sin( \frac{ \alpha }{2})cos( \frac{ \alpha }{2}) } = \frac{cos (\alpha )}{ \frac{1}{2}sin (\alpha )} = \frac{2cos( \alpha )}{ \sin( \alpha ) } = 2ctg( \alpha )$

Доказано

в)

$(ctg( \alpha ) - tg( \alpha )) \times \sin(2 \alpha ) = 2 \cos(2 \alpha )$

Работаем с левой частью

$(ctg( \alpha ) - tg( \alpha )) \times \sin(2 \alpha ) = \frac{ \cos( \alpha ) }{\sin( \alpha ) } \times 2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) - \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } \times 2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) = 2 {cos}^{2} ( \alpha ) - 2 {sin}^{2} ( \alpha ) = 2 \times ( {cos}^{2} ( \alpha ) - {sin}^{2} ( \alpha )) = 2 \cos(2 \alpha )$

Доказано

г)

$\sin( \alpha ) { \cos}^{3}( \alpha ) - { \sin }^{3}( \alpha )\cos( \alpha ) = \frac{1}{4} \sin(4 \alpha )$

Работаем с левой частью

$\sin( \alpha ) { \cos}^{3}( \alpha ) - { \sin }^{3}( \alpha )\cos( \alpha ) = \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) \times ( {\cos}^{2}( \alpha ) - { \sin }^{2}( \alpha )) = \frac{1}{2} \sin(2 \alpha ) \cos(2 \alpha ) = \frac{1}{2} \times ( \frac{1}{2} \sin (2 \alpha - 2 \alpha ) + \sin(2 \alpha + 2 \alpha ) ) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \times 0 + \sin(4 \alpha ) ) = \frac{1}{4} \sin(4 \alpha )$

Доказано