Ответы
Итак, есть выражение
Единица - число целое, его и не рассматриваем, главное, чтобы дробь принимала целые значения. Как этого добиться?
Можно по-разному сгруппировать множители, есть два варианта, рассмотрим каждый из них и в конце объединим полученные значения
1) рассмотрим случай, когда
В этом случае 4 делится на , такие значения легко подбираются, самое главное найти те
пусть делится на
, тогда частное от деления некоторое число
Немного преобразуем, умножив на (оно не равно 0 ещё по условию)
Нужно решить полученное уравнение в целых числах. В данном случае все просто: произведение целых чисел равно единице либо когда каждое из чисел равно 1, либо -1.
То есть 1 вариант, когда
либо 2 вариант, когда
Самое главное, что 4 делится на оба полученных значения , то есть они точно пойдут в ответ.
Теперь рассматриваем случай 2):
считаем, что не делится на
нацело (когда делится, мы уже такие случаи нашли), и тогда остается только вариант такой:
Понятно, что при целых правый сомножитель всегда будет целым, значит, нужно добиться, чтобы левый тоже был целым.
Если совсем просто, то заменим , и имеем тогда выражение
, которое должно быть целым, отсюда следует, что
является делителем числа 4, а их немного на самом деле.
Правда, вспоминаем, что
Нам нужны целые числа, поэтому значения с корнями откидываются, а ещё вспоминаем, что общий ответ получается путем объединения случаев 1 и 2, но нам повезло, оба значения из случая 1 вошли в значения случая 2.
Вообще есть ещё случай группировки 3:
Но тут сразу видно, что при целых делимость нацело правого множителя невозможна при
(парабола растет быстрее прямой), а
(которые, к слову, сюда тоже подходят) мы уже рассмотрели.
Ответ: