Question

Дан остроугольный треугольник ABC, в котором проведена биссектриса BD. В треугольнике ADB проведена высота DE, а на стороне BC выбрана такая точка F, что угол DFC=45 градусов. Докажите, что BF+DE=BE​

Answer 1

Доказательство:

Так как треугольник остроугольный и BD - биссектриса, то ∠B<90°⇒∠CBD<45°=∠DFC, следовательно F∈BC.

Проведем из точки D перпендикуляр до отрезка BC с основанием M, M будет принадлежать стороне BC поскольку треугольник остроугольный.

Тогда прямоугольные треугольники BDE и BDM равны по общей гипотенузе BD и острым углам ∠DBE, ∠DBM. Из этого следует что, $BE=BM, DE=DM$.

Также из-за того что, ∠DBC<∠DFC=45°<∠DMC=90°⇒F∈BM, теперь можно пользоваться тем что $BF+FM=BM$.

Заметим что, DFM - прямоугольный треугольник с углом 45°, то есть $DM=FM$.

Учитывая доказанные равенства получаем,

$BF+DE=BF+DM=BF+FM=BM$

Что требовалось доказать.