Question

В подразделении 20 солдат и 5 офицеров. Сколькими способами можно выделить караул, состоящий из трех солдат и одного офицера?
​

Answer 1

Ответ:

5700 способом

Объяснение:

Одного офицера можно выбрать $\displaystyle C_5^1$ способами, а 3 солдат $\displaystyle C_{20}^3$ способами. Всего по правилу произведения получаем  

$\displaystyle C_5^1 \cdot C_{20}^3$

способов выбора.

Так как число сочетаний из n по k вычисляется по формуле

$\displaystyle \tt C_n^k = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!} ,$

то

$\displaystyle \tt C_5^1 \cdot C_{20}^3=\dfrac{5!}{1! \cdot (5-1)!} \cdot \dfrac{20!}{3! \cdot (20-3)!} =\dfrac{4! \cdot 5}{4!} \cdot \dfrac{17! \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17!} = \\\\= 5 \cdot \dfrac{18 \cdot 19 \cdot 20}{6} = 5 \cdot 3 \cdot 19 \cdot 20 = 57 \cdot 100 = 5700.$