Question

решите уравнение:
2arctg^2x-5piarctgx+3pi^2=0​

Answer 1

$2 \arctg {}^{2} (x) - 5\pi \arctg(x) + 3\pi {}^{2} = 0$

Замена:

$\arctg(x) = t, \: t \in ( - \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} )$

Получим уравнение:

$2 {t}^{2} - 5\pi t + 3\pi {}^{2} = 0 \\ D = ( - 5\pi) {}^{2} - 4 \times 2 \times 3\pi {}^{2} = 25 {\pi}^{2} - 24 {\pi}^{2} = {\pi}^{2} \\ \sqrt{D} = \pi \\ t_{1} = \frac{5\pi + \pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \\ t_{2} = \frac{5\pi - \pi}{4} = \pi$

Проверяем, попадают ли данные корни в ограничение:

$\frac{3\pi}{2} > \frac{\pi}{2} \Rightarrow t_{1} \in \varnothing \\ \pi > \frac{\pi}{2} \Rightarrow t_{2} \in \varnothing$

В итоге ни один корень не подошёл, поэтому исходное уравнение не имеет решения.

Ответ: ∅