Question

Помогите пожалуйста с математикой. Решить дифференциальные уравнения первого порядка. Найти частное решение (интеграл), если указаны начальные условия.
Нужно решить примеры в таблице под номером
2(в) и 3(а,б,в)

Answer 1

Задание 2(в)

$(x-1)\, dy=(1+y)\, dx\\\\\frac{dy}{1+y} =\frac{dx}{x-1} \\\\ln|1+y|=ln|x-1|+C_1\\\\ln|1+y|=ln|x-1|+ln|C_2|=ln|C_2\cdot (x-1)|\\\\1+y=C_2\cdot x-C_2\\\\y(x)=C_2\cdot x+1-C_2$

Задание 3(а)

$y'=x(7x^2+3)^5\,dx\\\\y=\int{x(7x^2+3)^5}\,dx=\frac{1}{2}\int{(7x^2+3)^5}\,d(x^2)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}\int{(7x^2+3)^5}\,d(7x^2+3)=\\\\=\frac{1}{14}\cdot \frac{1}{6} \cdot (7x^2+3)^6 +C=\frac{1}{84} \cdot (7x^2+3)^6 +C\\\\y(x)=\frac{1}{84} \cdot (7x^2+3)^6 +C$

Задание 3(б)

$y'=sin^2(5x)\\\\y=\int {sin^2(5x)} \, dx = \int {\frac{1-cos(10x)}{2} }\, dx =\frac{1}{2} \cdot \int {1}\,dx-\frac{1}{2} \cdot \int {cos(10x)}\,dx=\\\\=\frac{x}{2} -\frac{1}{20} \cdot sin(10x)+C\\\\y(x)=\frac{x}{2} -\frac{1}{20} \cdot sin(10x)+C$

Задание 3(в)

$(x-2) \, dy+y^2\,dx=0\\\\(x-2) \, dy=-y^2\,dx\\\\-\frac{dy}{y^2} =\frac{dx}{x-2} \\\\\frac{1}{y}=ln|x-2| +C_1\\\\\frac{1}{y}=ln|x-2| +ln|C_2|=ln|C_2\cdot(x-2)|\\\\y(x)=ln^{-1}|C_2\cdot(x-2)|$