Question

Решить систему уравнений

{3sinx+4cosy=4
2sinx+7cosy=5
​

Answer 1

$\begin{cases} 3\sin x+4\cos y=4 \\ 2\sin x+7\cos y=5\end{cases}$

Первое уравнение домножим на 2, а второе - на (-3):

$\begin{cases} 6\sin x+8\cos y=8 \\ -6\sin x-21\cos y=-15\end{cases}$

Складываем уравнения:

$6\sin x+8\cos y-6\sin x-21\cos y=8-15$

$-13\cos y=-7$

$\cos y=\dfrac{7}{13}$

$y=\pm\arccos\dfrac{7}{13} +2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Теперь в исходной системе первое уравнение домножим а 7, а второе - на (-4):

$\begin{cases} 21\sin x+28\cos y=28 \\ -8\sin x-28\cos y=-20\end{cases}$

Складываем уравнения:

$21\sin x+28\cos y-8\sin x-28\cos y=28-20$

$13\sin x=8$

$\sin x=\dfrac{8}{13}$

$x=(-1)^k\arcsin\dfrac{8}{13} +\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\begin{cases} x=(-1)^k\arcsin\dfrac{8}{13} +\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\\ y=\pm\arccos\dfrac{7}{13} +2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\end{cases}$