Ответы
Ответ:
Выражение примет минимальное значение при х=4; х=-4.
Объяснение:
(х²-7)²-18(х²-7)+90
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
х⁴-14х²+49-18х²+126+90=х⁴-32х²+265
Выделим полный квадрат:
(х⁴-32х²+256)+9=(х²-16)²+9
Выражение примет минимальное значение, если
(х²-16)²=0
х²-16=0
(х-4)(х+4)=0
х=4 или х=-4
То есть выражение примет минимальное значение при х=4; х=-4.
Ответ:
x = ±4
Объяснение:
Введём обозначение t=(x²-7) в выражении (x²-7)²-18·(x²-7)+90. Тогда получим квадратный трёхчлен t²-18·t+90. Рассмотрим функцию
y=t²-18·t+90, график которой парабола.
Известно, что если главный коэффициент больше нуля, то квадратичная функция принимает своё минимальное значение в вершине параболы. Преобразуем правую часть квадратичной функции по формуле сокращённого умножения (a-b)²=a²-2·a·b+b² и находим координаты вершины:
y=t²-18·t+90=t²-18·t+81+9=t²-2·9·t+9²+9=(t-9)²+9.
Отсюда, координаты вершины (9; 9), то есть наименьшее значение функции равно 9.
Теперь находим значение аргумента x при которых достигается наименьшее значение. Проведём обратную подстановку:
(x²-7)=t, t=9 ⇔ x²-7=9 ⇔ x²-16=0 ⇔ x²-4²=0 ⇔ (x+4)·(x-4)=0 ⇔ x = -4, x = 4.
Значит, функция y=(x²-7)²-18(x²-7)+90 принимает наименьшее значение при значениях аргумента ±4.