Question

Построить график и найти двойной интеграл. Как можно подробнее и не через калькулятор.​

Answer 1

Ответ:

0

Объяснение:

Для начала построим нашу область D по которой будем интегрировать.

По частям:

1)

$|x-1|\leq 2\\-2\leq x-1\leq 2\\-2+1\leq x-1+1\leq 2+1\\-1\leq x\leq 3$

Это область между прямыми х=-1 и х=3 (зеленая - см. рисунок)

2)

$|y|\leq 2\\-2\leq y\leq 2$

Это область между прямыми у=-2 и у=2 (синяя - см. рисунок)

Тогда х меняется от -1 до 3, а у от -2 до 2. Запишем двойной интеграл как пару

$\displaystyle \iint\limits_Dxye^{-x^2-y^2}dxdy=\int\limits_{-1}^3dx\int\limits^2_{-2}xye^{-x^2-y^2}dy$

Для удобства разделим вычисления.

Посчитаем внутренний определённый интеграл

$\displaystyle \int\limits^2_{-2}xye^{-x^2-y^2}dy=x \int\limits^2_{-2}ye^{-x^2-y^2}dy=\dfrac12x \int\limits^2_{-2}e^{-x^2-y^2}2ydy=\dfrac12x \int\limits^2_{-2}e^{-x^2-y^2}d(y^2)=-\dfrac12x \int\limits^2_{-2}e^{-x^2-y^2}d(-x^2-y^2)=-\dfrac12xe^{-x^2-y^2}\Bigg|_{-2}^2=-\dfrac12xe^{-x^2-4}-\Big(-\dfrac12xe^{-x^2-4}\Big)= 0$

Тогда дальше:

$\displaystyle \int\limits^3_{-1}0dx=0-0=0$