Question

Помогите пожалуйста с математикой!Решить дифференциальное уравнение первого порядка. Найти частное решение(интеграл) если указаны начальные условия

Answer 1

Решаем дифференциальное уравнение:

$y'=sin^2(5x)\\\\y=\int {sin^2(5x)} \, dx = \int {\frac{1-cos(10x)}{2} } \, dx=\frac{1}{2} \cdot \int{1}\, dx-\frac{1}{2}\cdot \int{cos(10x)}\, dx=\\\\=\frac{x}{2} -\frac{1}{20} \cdot sin(10x)+C\\\\y(x)=\frac{x}{2} -\frac{1}{20} \cdot sin(10x)+C$

Подставим условие и найдем константу интегрирования:

$y(\frac{\pi}{15} )=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{15} -\frac{1}{20} \cdot sin(\frac{10\pi}{15})+C=0\\\\\frac{\pi}{30} -\frac{1}{20} \cdot sin(\frac{2\pi}{3} )+C=0\\\\\frac{\pi}{30} -\frac{\sqrt{3}}{40} +C=0\\\\C=\frac{\sqrt{3}}{40}-\frac{\pi}{30}$

В итоге:

$y(x)=\frac{x}{2} -\frac{1}{20} \cdot sin(10x)+\frac{\sqrt{3} }{40} -\frac{\pi}{30}$

Можно немного "причесать" ответ:

$y(x)=\frac{1}{120} \cdot\bigg(60\cdot x-6\cdot sin(10x)+3\sqrt{3}-4\pi \bigg)$