Question

Точка О - центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.
а) Докажите, что точка Р является центром окружности, описанной около треугольника АОС.
б) Найдите расстояние от точки Р до прямой АС, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 14, угол АВС = 60

Answer 1

a) Центр вписанной окружности треугольника - точка пересечения биссектрис.

AOP =BAO+ABO =A/2 +B/2 (внешний угол AOB)

CAP =CBP =B/2 (вписанные)

OAP =CAO +CAP =A/2 +B/2 =AOP

△APO - равнобедренный, PA=PO

Аналогично PC=PO

б) Центр T описанной окружности △APC лежит на серединном перпендикуляре к AC.

ATP =2ABP =B =60

△ATP - равнобедренный (TA=TP) с углом 60 - равносторонний.

AH - высота и медиана, PH =TP/2 =14/2 =7