Question

Скільки існує десятицифрових чисел, в записі яких є хоча б дві однакові цифри?

Answer 1

Всего десятизначных чисел составить можно $9\cdot 10^9$ способами (на первое место используется 9 цифр, так как 0 нельзя ставить, а на оставшиеся 9 мест - по 10 цифр). Теперь посчитаем сколько таких десятизначных чисел можно составить, если цифры не повторяются.

На первое место можно использовать 9 цифр, поскольку 0 не учитываем, на второе место - 9 цифр, т.к. одна цифра уже используется и цифра 0 учитывается, на третьем место — оставшиеся 8 цифра, ... и на десятом месте 1 цифра. Составить их можно 9 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 9 * 9! способами.

Итого $9\cdot 10^9-9\cdot 9!=9(10^9-9!)$ способами можно составить десятизначные числа, которые имеют хотя две одинаковые цифры

Ответ: $9(10^9-9!)$ или $8996734080.$