Question

Мне нужно подробное решение. Не скрины онлайн-калькулятора. Ответ должен быть (sinx)/x
$\lim_{n \to \infty} ( cos\frac{x}{2} cos\frac{x}{4} ... cos \frac{ 2 }^{2^{n} } } )$

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{sinx}{x}$

Пошаговое объяснение:

$\lim\limits_{n\to\infty}cos\dfrac{x}{2}...cos\dfrac{x}{2^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{cos\frac{x}{2}...cos\frac{x}{2^n}\cdot 2^nsin\frac{x}{2^n}}{2^nsin\frac{x}{2^n}}=\\ =\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{cos\frac{x}{2}...cos\frac{x}{2^{n-1}}\cdot 2^{n-1}(2sin\frac{x}{2^n}cos\frac{x}{2^n})}{2^n\cdot\frac{x}{2^n}}=\\ =\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{cos\frac{x}{2}...cos\frac{x}{2^{n-1}}\cdot 2^{n-1}(sin\frac{x}{2^{n-1}})}{x}=$

$=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{cos\frac{x}{2}...cos\frac{x}{2^{n-2}}\cdot 2^{n-2}(2sin\frac{x}{2^{n-1}}cos\frac{x}{2^{n-1}})}{x}=\\ =\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{cos\frac{x}{2}...cos\frac{x}{2^{n-2}}\cdot 2^{n-2}(sin\frac{x}{2^{n-2}})}{x}=...=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{sinx}{x}=\dfrac{sinx}{x}$

На месте многоточия операция сворачивания формулы синуса двойного аргумента повторяется еще n-2 раза. В результате получаем искомый ответ