Question

$y = cos^2x + cosx + 2$
E(f) - ?

Answer 1

$y =\cos^2x +\cos x + 2$

Выделим полный квадрат:

$\cos^2x +\cos x + 2=\cos^2x+2\cdot\cos x\cdot\dfrac{1}{2} +\left(\dfrac{1}{2} \right)^2- \left(\dfrac{1}{2} \right)^2+2=$

$=\left(\cos x+\dfrac{1}{2} \right)^2- \dfrac{1}{4} +2=\left(\cos x+\dfrac{1}{2} \right)^2+ \dfrac{7}{4}$

Зная, что косинус принимает значения из отрезка от -1 до 1, оценим полученное выражение:

$-1\leq \cos x\leq 1$

$-1+\dfrac{1}{2}\leq \cos x+\dfrac{1}{2} \leq 1+\dfrac{1}{2}$

$-\dfrac{1}{2}\leq \cos x+\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{3}{2}$

$0\leq \left(\cos x+\dfrac{1}{2}\right)^2 \leq \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$

$0\leq \left(\cos x+\dfrac{1}{2}\right)^2 \leq \dfrac{9}{4}$

$0+\dfrac{7}{4}\leq \left(\cos x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4} \leq \dfrac{9}{4}+\dfrac{7}{4}$

$\dfrac{7}{4}\leq \left(\cos x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4} \leq 4$

Таким образом, область значений функции:

$\boxed{E(y)=\left[\dfrac{7}{4} ;\ 4\right]}$