Question

Пожалуйста. Даю 30 балов. Знайдіть проміжки монотонності, точки екстремуму та екстремуми функції.

Answer 1

Решение:

Найдем производную функции:

$f'(x)=4\cdot3x^2-9\cdot2x-12=12x^2-18x-12$

Чтобы найти все заданные характеристики, приравняем производную к 0, определим ее знаки на интервалах, типы критических точек и значения функции в них.

$12x^2-18x-12=0\\\\2x^2-3x-2=0\\\\D=(-3)^2-4\cdot 2 \cdot (-2)=9+16=25\\\\\left[\begin{array}{ccc}x_1=\frac{3+5}{4}=2 \\\\x_2=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2} \end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}f'(x)>0 \, , \, x \in (-\infty;-\frac{1}{2} )\cup(2;+\infty)\\\\f'(x)<0 \, , \, x \in (-\frac{1}{2} ; 2)\end{array}\right$

Таким образом:

функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty;-\frac{1}{2} )\cup(2;+\infty)$

функция убывает на промежутке $x \in (-\frac{1}{2} ; 2)$

точка $x=-\frac{1}{2}$ является локальным максимумом, в котором $f(-\frac{1}{2} )=8.25$

точка $x=2$ является локальным минимумом, в котором $f(2 )=-23$