Question

Помогите решить предел, я маленько запутался.

Answer 1

Ответ:

-1

Пошаговое объяснение:

Можно было немного упростить себе жизнь: выразить все факториалы через n! и сократить на него. Для начала упростим дробь:

$\frac{(n+1)!+(n+3)!}{n\cdot(n!-(n+2)!)} =\frac{n!\cdot(n+1)+n!\cdot(n+1)\cdot(n+2)\cdot(n+3)}{n\cdot(n!-n!\cdot(n+1)\cdot(n+2))} =\frac{n+1+(n+1)\cdot(n+2)\cdot(n+3)}{n-n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}$

Можем раскрыть каждое произведение и запутаться. А можем просто вынести из каждой скобки общий множитель n . Тогда дробь примет вид:

$\frac{n+1+(n+1)\cdot(n+2)\cdot(n+3)}{n-n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}=\frac{n+1+n^3(1+1/n)\cdot(1+2/n)\cdot(1+3/n)}{n-n^3\cdot(1+1/n)\cdot(1+2/n)}$

Вернемся к пределу и вспомним, что предел отношения полиномов

$P_n(x)=a_0\cdot x^n+a_1\cdot x^{n-1}+...a_{n-1}\cdot x+a_n\\\\Q_m(x)=b_0\cdot x^m+b_1\cdot x^{m-1}+...b_{m-1}\cdot x+b_m$

При переменной, стремящейся к бесконечности равен:

$\lim_{x \to \infty} \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} =\left\{\begin{array}{ccc}0 \, , \, n<m\\\\\frac{a_0}{b_0}\, ,\, n=m\\\\\infty \, , \, n>m\end{array}\right$

Тогда, для этой задачи такой предел равен отношению коэффициентов перед n³ (слагаемые вида 1/n стремятся к 0, а значит сама скобка стремится к 1)

$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1+n^3(1+1/n)\cdot(1+2/n)\cdot(1+3/n)}{n-n^3\cdot(1+1/n)\cdot(1+2/n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1+n^3}{n-n^3}=\frac{1}{-1}=-1$