Обчислити площу трикутника побудованого на векторах c=a+3b d=3a+b якщо
|a| = 3 |b|= 1 (a^b)=60градусів
Ответы
Даны векторы |a| = 3, |b|= 1, (a^b)=60 градусов.
Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах c=a+3b, d=3a+b.
Примем вектор a по оси Ох, а вектор b под углом 60 градусов к положительному направлению оси Ох.
Находим вектор c = a + 3b.
Модуль а находим по теореме косинусов.
3b = 3*1 = 3, b = 3. ∠ = 180 - 60 = 120°.
|c| = √(3² + 3² - 2*3*3*(-1/2)) = √27 ≈ 5,19615.
Находим угол от вектора c до оси Ох.
Так как стороны равны по 3, то острые углы в этом треугольнике по 30 градусов.
a = 30°.
Находим вектор d = 3a + b.
b = 1. 3a = 3*3 = 9.
Так как вектор b сохраняет своё направление, то в треугольнике угол между векторами будет равен углу а = 120°.
|d| = √(9² + 1² - 2*9*1*(-1/2)) = √91 ≈ 9,53939.
cos d = (9² + 1² - 91)/(2*9*1) = 0,99587.
d = arc cos(0,99587) = 5,20872°.
Находим угол между векторами c и d.
∠ = 30 - 5,20872 = 24,79128°.
Синус его равен 0,419314.
Получаем ответ:
S = (1/2)*|c|*|d|*cos(d) = (1/2)*√27*√91*0,419314 = 10,3923 кв.ед.
