Question

Вычислить границы функций

Answer 1

Задание 1.

Воспользуемся правилом Лопиталя:

$\lim\limits_{x\to 2}\, \frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{2x^2+1}-3} =[\frac{0}{0} ]=\lim\limits_{x\to 2}\, \frac{(2x^2-5x+2)'}{(\sqrt{2x^2+1}-3)'} =\lim\limits_{x\to 2}\, (4x-5):{\frac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}} }=\lim\limits_{x\to 2}\, \frac{(4x-5)\cdot \sqrt{2x^2+1}}{2x} =\\\\=\frac{(4\cdot 2-5)\cdot(\sqrt{2\cdot2^2+1}}{2\cdot 2}=\frac{3\cdot 3}{4} =\frac{9}{4}$

Задание 2.

Применим эквивалентности бесконечно малых величин:

$\lim \limits_{x\to 0} sin2x\cdot ctg 5x=\lim \limits_{x\to 0} \frac{sin2x}{tg5x} =[\frac{0}{0} ]=\left[\begin{array}{c}sin2x\sim 2x \\\\tg5x \sim5x\end{array}\right] =\lim \limits_{x\to 0} \frac{2x}{5x} =\frac{2}{5}$

Задание 3.

Вынесем общий множитель x³ и отбросим величины, стремящиеся к 0:

$\lim \limits_{x\to \infty} \, \frac{x^3-3x+5}{5x^3+7x-1} =\lim \limits_{x\to \infty} \, \frac{x^3\cdot(1-3/x^2+5/x^3)}{x^3\cdot(5+7/x^2-1/x^3)} =\lim \limits_{x\to \infty} \, \frac{1-3/x^2+5/x^3}{5+7/x^2-1/x^3}=\frac{1}{5}$

Задание 4.

Приведем предел к виду второго замечательного предела

$\lim \limits_{x\to \infty} \, \bigg( 1+\frac{3}{2x-1} \bigg)^{4x-1} = \lim \limits_{x\to \infty} \, \bigg( 1+\frac{3}{2x-1} \bigg)^{(4x-1)\cdot \frac{2x-1}{3}\cdot \frac{3}{2x-1} } =\\\\\\=\lim \limits_{x\to \infty} \, \bigg(\bigg( 1+\frac{3}{2x-1} \bigg)^{\frac{2x-1}{3} }\bigg)^{\frac{3\cdot(4x-1)}{2x-1} }=\lim \limits_{x\to \infty} e^{\frac{12x-3}{2x-1}}=e^{\frac{12}{2}} =e^6$

Answer 2

Ответ:

а)

$\tt \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot x^2 - 5 \cdot x + 2}{\sqrt{2 \cdot x^2+1} -3} = \lim_{x \to 2} \frac{(2 \cdot x^2 - 5 \cdot x + 2) \cdot (\sqrt{2 \cdot x^2+1} +3)}{(\sqrt{2 \cdot x^2+1} -3) \cdot (\sqrt{2 \cdot x^2+1} +3)} = \\\\ = \lim_{x \to 2} \frac{(2 \cdot x^2 - 5 \cdot x + 2) \cdot (\sqrt{2 \cdot x^2+1} +3)}{2 \cdot x^2+1 -9} = \\\\=\lim_{x \to 2} \frac{(2 \cdot x^2 - 5 \cdot x + 2) \cdot (\sqrt{2 \cdot x^2+1} +3)}{2 \cdot x^2 -8} =$

$\tt \displaystyle =\lim_{x \to 2} \frac{(2 \cdot x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (\sqrt{2 \cdot x^2+1} +3)}{2 \cdot (x -2) \cdot (x+2)} =\\\\=\lim_{x \to 2} \frac{(2 \cdot x - 1) \cdot (\sqrt{2 \cdot x^2+1} +3)}{2 \cdot (x+2)} =\\\\=\frac{(2 \cdot 2 - 1) \cdot (\sqrt{2 \cdot 2^2+1} +3)}{2 \cdot (2+2)} =\frac{3 \cdot (3 +3)}{2 \cdot 4} =\frac{18}{8} =\frac{9}{4} =2\frac{1}{4};$

б)

$\tt \displaystyle \lim_{x \to 0} sin2x \cdot ctg5x = \lim_{x \to 0} sin2x \cdot\frac{ cos5x}{sin5x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot sin2x}{2x} \cdot\frac{ 5x }{ 5 \cdot sin5x} \cdot cos5x = \\\\= \frac{2}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{sin2x}{2x} \right) \cdot \left(\frac{ 5x }{ sin5x} \right)\cdot cos5x = \\\\=\frac{2}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{sin2x}{2x} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{ 5x }{ sin5x} \right)\cdot \lim_{x \to 0} cos5x =$

$\tt \displaystyle =\frac{2}{5} \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos0 =\frac{2}{5} \cdot 1 =\frac{2}{5};$

в)

$\tt \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3 \cdot x + 5}{5 \cdot x^3 + 7 \cdot x -1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\dfrac{x^3}{x^3} - 3 \cdot \dfrac{x}{x^3} + \dfrac{5}{x^3}}{5 \cdot \dfrac{x^3}{x^3} + 7 \cdot \dfrac{x}{x^3} -\dfrac{1}{x^3} } = \\\\= \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 3 \cdot \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{5}{x^3}}{5 \cdot 1 + 7 \cdot \dfrac{1}{x^2} -\dfrac{1}{x^3} } = \frac{1 - 3 \cdot 0+ 0}{5 \cdot 1 + 7 \cdot 0 -0 } = \frac{1}{5};$

г)

$\tt \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac{3}{2 \cdot x -1} \right )^{4 \cdot x-1} = \lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac{1}{\dfrac{2 \cdot x -1}{3} } \right )^{2 \cdot (2 \cdot x-1)+1} = \\\\= \lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac{1}{\dfrac{2 \cdot x -1}{3} } \right )^{2 \cdot (2 \cdot x-1)} \cdot \left(1+ \frac{1}{\dfrac{2 \cdot x -1}{3} } \right ) =$

$\tt \displaystyle =\lim_{x \to \infty} \left( \left(1+ \frac{1}{\dfrac{2 \cdot x -1}{3} } \right )^{\dfrac{2 \cdot x-1}{3} } \right )^6 \cdot \left(1+ \frac{1}{\dfrac{2 \cdot x -1}{3} } \right ) =e^6 \cdot (1+0) =e^6.$