Question

Пожалуйста помогите решить a и b

Answer 1

$1)\ \ \sum \limits _{k=1}^{\infty }\, \dfrac{9^{k}}{k+1}\\\\\\\lim\limits _{k \to \infty}\dfrac{a_{k+1}}{a_{k}}=\lim\limits _{k \to \infty}\dfrac{9^{k+1}}{k+2}:\dfrac{9^{k}}{k+1}=\lim\limits _{k \to \infty}\dfrac{9^{k}\cdot 9}{k+2}\cdot \dfrac{k+1}{9^{k}}=\lim\limits _{k \to \infty}\dfrac{9k+9}{k+2}=\\\\\\=\lim\limits _{k \to \infty}\dfrac{9+\frac{9}{k}}{1+\frac{2}{k}}=9>1\ \ \ \Rightarrow$

                                          ряд расходится

$2)\ \ \sum \limits_{n=1}^{\infty }\dfrac{7^{n}}{n!}\\\\\\\lim\limits _{n \to \infty }\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{7^{n+1}}{(n+1)!}:\dfrac{7^{n}}{n!}=\lim\limits _{n \to \infty}\ \dfrac{7^{n}\cdot 7}{n!\, (n+1)}\cdot \dfrac{n!}{7^{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{7}{n+1}=0<1$

     ряд сходится

$P.S.\ \ \ \ (n+1)!=\underbrace {1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}_{n!}\cdot (n+1)=n!\, (n+1)$