Question

Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{7}{2}n$

Объяснение:

Для каждого кубика зададим СВ $X_i$: число выпавших на кубике очков.

Тогда искомое матожидание можно записать как $E(X_1+X_2+...+X_n)$

Но матожидание суммы СВ равно сумме матожиданий:

$E(X_1+X_2+...+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+...+E(X_n)$

Очевидно, распределения величин $X_i$ совпадают (кубики одинаковы).

Тогда и их матожидания совпадают: $E(X_1)+E(X_2)+...+E(X_n)=nE(X_1)$

Найдем матожидание для кубика:

СВ может принять одно из 6 значений 1,2,3,4,5,6 с равной вероятностью. А тогда эта вероятность равна $\dfrac{1}{6}$ , откуда $E(X_1)=\dfrac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}$

Тогда искомое матожидание равно $\dfrac{7}{2}n$