Question

Найти предел функции.
Правила Лопиталя применять нельзя

Answer 1

Ответ:

$6\sqrt2$

Объяснение:

1 Запишем

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\arcsin 3x}{\sqrt{2+x}-\sqrt2}$

2 Умножим на 1

Но мы представим 1 как дробь $\dfrac{\sqrt{2+x}+\sqrt2}{\sqrt{2+x}+\sqrt2}$, такое действие еще называют домножением на сопряжённое

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\arcsin 3x}{\sqrt{2+x}-\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt{2+x}+\sqrt2}{\sqrt{2+x}+\sqrt2}$

3 Соберем все в одну дробь

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\arcsin 3x}{\big(\sqrt{2+x}-\sqrt2\big)\big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)}$

4 Заметим в знаменателе разность квадратов

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ где

$a=\sqrt{2+x}\\b=\sqrt2$

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\arcsin 3x}{2+x-2}$

5 Упростим знаменатель

$\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{\big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\arcsin 3x}{x}$

6 Представим дробь как произведение

$\displaystyle \lim_{x\to0} \big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\cdot\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

7 Представим предел произведения как произведение пределов

$\displaystyle \lim_{x\to0} \big(\sqrt{2+x}+\sqrt2\big)\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

8 Посчитаем первый предел

$\displaystyle \big(\sqrt{2+0}+\sqrt2\big)\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

$\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

9 Так как $x\sim 3x~(x\to0)$ то мы можем заметить в пределе $x\to0$ на $3x\to0$

$\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\lim_{3x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{x}$

10 Умножим выражение пол пределом на 1

Но 1 мы представим в виде $\dfrac33$

$\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\lim_{3x\to0}\dfrac{3\arcsin 3x}{3x}$

11 Вынесем константу (3) за предел

$\displaystyle 6\sqrt{2}\cdot\lim_{3x\to0}\dfrac{\arcsin 3x}{3x}$

12 Имеем первый замечательный предел, он равен 1

$\displaystyle 6\sqrt{2}\cdot1$

ОТВЕТ

$6\sqrt2$

Answer 2

$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{arcsin3x}{\sqrt{2+x}-\sqrt2}=\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{arcsin3x\cdot (\sqrt{2+x}+\sqrt2)}{(\sqrt{2+x}-\sqrt2)(\sqrt{2+x}+\sqrt2)}=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{arcsin3x\cdot (\sqrt{2+x}+\sqrt2)}{2+x-2}=\Big[\ arcsin3x\sim 3x\, ,\ (3x)\to 0\ \Big]=\\\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\dfrac{3x\cdot (\sqrt{2+x}+\sqrt2)}{x}=\lim\limits_{x \to 0}3(\sqrt{2+x}+\sqrt2)=3\cdot 2\sqrt2=6\sqrt2$